Bernhard Riemanns historische Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse ist ein monumentaler Text in der Geschichte der Mathematik. Hier bricht Riemann mit den traditionellen algebraischen Definitionen komplexer Funktionen und legt die geometrischen und potentialtheoretischen Grundlagen – er führt ein, was wir heute als Riemannsche Flächen, die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und die mehrdimensionalen Integrationstechniken bezeichnen, die Doppelintegrale über Flächen mit Kurvenintegralen entlang von Rändern verknüpfen.
TIPDer LaTeX-Quellcode des Artikels ist hier verfügbar.
Beweis des Greenschen Satzes
Der Beweis des Greenschen Satzes dreht sich um Abschnitt 7 dieses Werkes, in dem Riemann auf brillante Weise die Integralbeziehung aufstellt:
welche als fundamentale Triebkraft für seine Untersuchung harmonischer Funktionen, des Dirichletschen Prinzips und der konformen Abbildung dient.
Riemann macht sich daran, die Kernintegralidentität zu beweisen, die ein zweidimensionales Flächenintegral über eine Fläche mit einem eindimensionalen Linienintegral um deren Rand verknüpft:
Anstatt fertige Sätze der modernen mehrdimensionalen Vektoranalysis heranzuziehen, baut Riemann den Beweis von Grund auf unter Verwendung einer klassischen Zerlegungstechnik auf:
-
Streifenzerlegung: Riemann zerlegt das Gebiet mithilfe eines Systems von Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, in infinitesimale Elementarstreifen.
(Wird fortgesetzt…)